GYŐRFI ZOLTÁN

a szerző további cikkei

(Tőzsér János és Gébert Judit szórakoztató filozófiai fejtörőjének generális megoldása - Egy filozófiai fejtörő, ÉS, 2011/7., febr. 18.) Aki a hivatkozott művet viccként bírta eszébe venni, aludni térhet. Aki nem, annak érdekes lehet: Megoldottam a sokadszor feladott és egyre divatosabb feladatot (lásd Ivan Reitman tavalyi filmjét, a Hiteles másolatot és Radnóti Sándor Másolat c. kötetét [Magvető, 1995]). A Thészeusz hajójával, annak másolataival, reprodukcióival stb. kapcsolatos labirinthból szerencsésen kitántorogtam és elszunnyadtam, de maradtak bökkenő kérdéseim:

Mi különbözteti meg a filozófust a matematikustól? A filozófus gyakran hoz megemésztetlen matematikai példákat elméletei illusztrációjaképpen - a matematikus viszont ritkán üti orrát filozófiába. - Most mégis megteszem, amolyan ejaculatio ad verecundiam formában: „Ameddig csak az emberi ész története elér, a matematika... a tudomány biztos útjára lépett. (...) Valami világosság gyúlt az első ember agyában..., aki az egyenlő szárú háromszög tulajdonságait bebizonyította; mert ez az ember megértette: nem abban áll a feladat, hogy azt fürkéssze, amit az alakzaton vagy annak puszta fogalmán észrevesz ...; a feladat abban áll, hogy az alakzatot annak révén alkossa meg ..., amit fogalmak szerint, a priori módon ő maga gondolt el benne." (I. Kant: A tiszta ész kritikája, B XI-B XII., ford. Kis János)

Szükséges-e tehát a gondolkodónak tudnia: mit helyezett egy fogalomba bele? Igen.

A geometria mely tételére gondolt Kant? Pons Asinorumnak neveztetik, mely név most kapóra jön. A tétel pedig: „Az egyenlő szárú háromszögnek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással..." (Euklidész: Elemek, I. 5., ford. Mayer Gyula)

Miért fontos számunkra ez a tétel? Két dolog egyenlőségéről szól - mondhatni: két dolog azonosságáról. Alexandriai Papposztól (i. u. 340 körül) származik a legegyszerűbb bizonyítás (idézi Coxeter, In: Introduction to Geometry, 1.3., I. 5.): Vágjunk ki egy egyenlő szárú háromszöget a papírból, majd helyezzük vissza megfordítva saját hiányára a papíron - illeszkedni fognak. Két szöget azonosnak lehet tekinteni például, ha ezzel a kivágós módszerrel egymásra másolhatóak.

Nem különbözőek-e mégis ezek a szögek, hisz az egyik a bal oldalán volt egyenlő szárú háromszögünk alapjának, a másik pedig ugyanezen alapnak a jobbik oldalán feküdött?

Mit veszünk itt észre? Ezt kéne: Azonosságról általában nem is beszélhetünk, csak azt mondhatjuk róla, amit „mi magunk gondoltunk bele". Ha az egymásra fektethető szögeket azonosaknak tekintjük, akkor azonosak. A szögazonosságnak ezen fogalma tranzitív: Ha α szög rámásolható β-ra és β rámásolható γ-ra, akkor α rámásolható γ-ra. Feltűnhet, hogy azonosság helyett „rámásolhatóságról" beszéltem. A „rámásolhatóság", szögek esetében, körzővel-vonalzóvali (vagy kivágós) szerkesztés esetében tranzitív fajta azonosság - reláció. Az azonosság önmagában pedig - efféle konkrét definíció nélkül - üres fogalom. Ha fontos nekünk, hogy e szögek épp nincsenek egymásra másolva, akkor megkülönböztethetőek maradnak, s a fogalom más értelmet nyer. De erről világosan kell nyilatkoznunk.

Minden relációtól (tudniillik reláció-fogalmakról beszéltünk eddig), amely valamilyen értelemben megérdemli az azonosság nevet, megkövetelhető-e a tranzitivitás? Nem. Nevezhetjük azonosnak az egymásra másolható szögeket akkor is, ha egymásra-másolatlanságuk esetén megkülönböztetjük őket. Egy másik példa lehet hétvégi telkekre gondolva „a van közös kerítésük" reláció. Ez reflexív: minden teleknek van saját magával közös kerítése, sőt szimmetrikus, ha ugyanis az a teleknek a b telekkel van közös kerítése, akkor ez fordítva is igaz; a tranzitivitás viszont elmarad. Tehát, szabadon választhatunk azonosságfogalmat magunknak, de valamit mondanunk kell - önmagában üres marad.

Szabadon alkothatunk-e fogalmakat általában? Nyilván nem, hiszen könnyen ellentmondásba keveredünk önmagunkkal és fogalmainkkal. Kritérium tehát: A használt fogalmak ellentmondásra nem vezethetnek, ha a logika kardjának élén meghányjuk-vetjük őket.

A priori adottak-e számunkra a fogalmak? Általában nem. A matematikus olyan fogalmakat alkot, még ha üreseket is, amelyek egymással valami konformitásban vannak. E konformitások a szintetikus igazságok - egyébként.

Milyen azonosság fogalmakat használ az alcímben hivatkozott mű? Az egyik pl. ez: „...van egy meghatározott százaléka az eredeti hajó összes alkatrészének, amely százalék alatti alkatrész kicserélése esetében a renovált hajó még azonos az eredeti hajóval, de amely százalék feletti alkatrész kicserélése esetében már nem azonos vele". Erről az azonosság-fogalomról kiderül - nem ismétlem meg az éles kontúrú gondolatmenetet -, hogy nem tranzitív.

Gondot okoz-e, ha egy „azonosság" jellegű reláció nem tranzitív? Miért okozna gondot? S éppen ez a problémám Kanttal és öntudatlan követőivel. Egyfelől: Fogalmaikba azt képzelnek tehetni, ami éppen akaródzik; másfelől esküsznek az a priori adott és ennek megfelelően nem általunk „konstruált" fogalmaik szükségképpeni létére; ezek ugyanis szemléletünk és a külvalóság feltétlen részeként - mondjuk úgy alkotó részeként - tételezkednek. Ilyen például az azonosság fogalma, melynek kanti analízise a tranzitivitást feltétlenül kihüvelyezni parancsolja. Az alcímben idézett mű ily módon élvezhet ellentmondások tömegére jutni.

Mit tesz a matematikus, ha ellentmondást talál? Nem esik álmatlanságba, mint a filozófus, hanem deklarálja, végére ért egy-két bizonyításnak: „Ez a fogalom nem létezik." „Amaz a reláció nem tranzitív."

Mit bizonyítottunk? Azt, hogy a priori azonosság-fogalom nem létezik. És azt, hogy a Tőzsér-Gébert-féle azonosság-relációk némelyike nem tranzitív.

Hogyan épülnek végül is gondolatmeneteink? Ne szégyelljük! Fogalmaink üresek. Egy fogalmat, mint a madárfészket a semmiben, alkatrészei egymással való kapcsolatai tartanak össze. A fészek szétszerelése: analízis, összeszerelése: szintézis. Az ágacskák, sztaniolpapír-darabok, a tollacskák és fűszálak önmagukban tartalmatlanok: analízisük nincs. A fészkeknek van, az ágacskáknak nincs tartalmuk. Mégis, gondolhatjuk az ágacskáról, hogy igen egyszerű fészek. Az ágacskák, tollacskák és fészkek tana a fogalomalkotás kistükre. Lám: legalább kétféle fogalom létezik: alapfogalom és konstruált fogalom. Amit nem értenek a filozófusok négy ezredév után sem: az alapfogalom üres; következésképp minden fogalom üres. Az egész matematika olyan, mint Hamlet - mondja most Polonius.

Miért írom le mindezt? Idegesít tudniillik, hogy majdnem mindenkinek világos: a tételek bizonyítatlan axiómákra mennek vissza, de majdnem senki nem érti: a fogalmak üres fogalmakból másznak elő; legfőképp pedig az idegesít és nem nevettet, hogy ez még mindig jó humor forrása lehet.